Counting intersections of rational cyclic grids: an application of Smith normal form
Rushikesh Murlidhar Walke
वर्तुळावरील दोन बिंदू निवडा. त्यांच्या बेरजेवर आणि फरकावर अटी लावा. दोन्ही अटी पूर्ण करणाऱ्या जोड्या किती? या मोजणीसाठी प्रस्थापित गणित कसे वापरायचे, हे या लेखात समजावले आहे.
Choose two points on a circle. Place conditions on their sum and difference. How many ordered pairs satisfy both? This note explains the count using established mathematics.
स्वतंत्र मानवी peer review झालेला नाहीNot peer-reviewedAI-सहाय्यित विवेचनात्मक preprintAI-assisted expository preprint
घड्याळाच्या गोल तबकडीवरील खुणा डोळ्यांसमोर आणा. वेगवेगळ्या खुणा निवडून काही नियम लावले, तर किती निवडी जुळतील? असा छोटा प्रश्न मोठ्या गणिताशी कसा जोडला जातो, हे या अभ्यासातून पाहता येते.
Picture the marks around a clock face. If you choose marks and impose a few rules, how many choices work? This study shows how a small counting puzzle connects to more advanced mathematics.
HV56 म्हणजे नेमके काय?What exactly is HV56?
HV56 हे या गणिती लेखासाठी वापरलेले छोटे नाव आहे. वर्तुळावर समान अंतरावर खुणा ठेवल्या की एक जाळी, म्हणजे grid, तयार होते. अशा दोन जाळ्यांमधून प्रत्येकी एक बिंदू निवडायचा. त्यांच्या स्थानांची बेरीज आणि फरक ठरवलेल्या खुणांवर आले पाहिजेत. हे दोन्ही नियम पाळणाऱ्या जोड्या किती, हा लेखाचा प्रश्न आहे.
HV56 is the short label used for this mathematical preprint. Equally spaced marks around a circle form a grid. Choose one point from each of two grids. The sum and difference of their positions must land on specified target grids. The question is how many ordered pairs meet both rules.
हे काय मोजते? एक छोटे उदाहरणWhat does it count? A small example
पहिल्या जाळीत ६ आणि दुसऱ्यात ४ खुणा असतील, तर एकूण ६ × ४ = २४ जोड्या मिळतात. या पानावरील बेरजेच्या व फरकाच्या अटी लावल्यावर त्यांपैकी फक्त २ जोड्या जुळतात. पूर्ण फेरी झाली की पुन्हा सुरुवातीच्या खुणेवर येतो, जसे घड्याळाचा काटा फिरतो. वेगळे नियम घेतले तर उत्तरही बदलू शकते.
With 6 marks in one grid and 4 in the other, there are 6 × 4 = 24 possible pairs. Under the sum and difference rules shown below, only 2 pairs work. A full turn returns to the starting mark, like a clock hand going around. Different rules can give a different answer.
सध्या याचा प्रत्यक्ष वापर कुठे आहे?Where is it implemented today?
लेखात या प्रकारच्या प्रश्नासाठी मोजणीचे सूत्र आणि त्याचा युक्तिवाद दिला आहे. त्यासाठी Smith normal form ही प्रस्थापित गणिती पद्धत वापरली आहे. सोबतच्या Python चाचण्यांत सूत्राचे उत्तर आणि प्रत्येक जोडी तपासून मिळालेली मोजणी यांची तुलना केली आहे. या websiteवर त्यातील २४ जोड्यांचे छोटे उदाहरण वापरून पाहता येते.
The preprint presents a counting formula and its mathematical argument using the established Smith normal form method. The accompanying Python checks compare the formula with counting each pair individually. This website implements the small 24-pair example for you to explore.
विज्ञानाला आणि समाजाला काय उपयोग?What can science and society gain?
सध्याचा स्पष्ट उपयोग शिक्षण आणि तपासता येणारी गणिती मांडणी हा आहे. साध्या कोड्यातून वर्तुळावरील मोजणी, पूर्णांकांचे गणित आणि संगणकीय तपासणी यांचा संबंध समजतो. विद्यार्थी, शिक्षक आणि उत्सुक वाचक उदाहरणे स्वतः तपासू शकतात. मराठी व इंग्रजीतील स्पष्टीकरणामुळे अधिक लोकांना हा अभ्यास समजून घेण्याची संधी मिळू शकते.
Its present value is educational and mathematical: a simple puzzle connects counting on a circle, integer arithmetic and computational checking. Students, teachers and curious readers can examine the examples for themselves. Explaining the work in Marathi and English may make it accessible to more people.
SCIENCE INSIGHT · YOUTUBE
HV56 व्हिडिओतून समजून घ्याWatch the HV56 explanation
वर्तुळावरील जाळ्या, मोजणीची पद्धत, उदाहरणे आणि मर्यादा — आकृत्या, पडद्यावरील मजकूर व संगीतासह. बोलके निवेदन नाही. प्रत्येक व्हिडिओ ६ मिनिटे ४० सेकंदांचा आहे.
Explore circle grids, the counting method, examples and limits through diagrams, on-screen text and music, without spoken narration. Each video is 6 minutes 40 seconds long.
AI-सहाय्यित संशोधन व विवेचन. स्वतंत्र मानवी peer review झालेले नाही.
AI-assisted research and exposition. Not independently peer-reviewed.
मराठी व्हिडिओ
HV56 म्हणजे काय आणि त्यातून काय निष्पन्न होते, हे मराठीत समजून घ्या.
२४ जोड्यांपैकी फक्त दोन जोड्या.Two pairs. Out of twenty-four.
u हा सहा समान खुणांच्या grid वरचा बिंदू आणि h हा चार समान खुणांच्या grid वरचा बिंदू आहे. वर्तुळावरील एक पूर्ण फेरी = 1. बेरीज आणि फरक घेताना पूर्ण फेऱ्या वगळल्या जातात (mod 1).
Let u belong to a six-point grid and h to a four-point grid. One full turn is 1. Sums and differences wrap around the circle (mod 1).
बेरीज u + h ही 0, 1/3 किंवा 2/3 असावी.The sum u + h must be 0, 1/3 or 2/3.
फरक u − h हा 0 किंवा 1/2 असावा.The difference u − h must be 0 or 1/2.
जोडी क्रमित आहे: पहिला बिंदू u, दुसरा h. हे एक उदाहरण आहे; सर्वसाधारण सूत्राचा पुरावा नाही.
Pairs are ordered: first u, then h. This illustration does not prove the general formula.
(u, h) = (0, 0)✓ दोन्ही अटी पूर्ण
u + h (mod 1)
0 · अट पूर्ण ✓
u − h (mod 1)
0 · अट पूर्ण ✓
सर्व २४ जोड्या पाहाSee all 24 pairs
✓ = दोन्ही अटी पूर्ण. — = दोन्ही अटी एकत्र पूर्ण होत नाहीत.✓ = both conditions hold. — = the pair does not satisfy both.
u ↓ / h →
0
1/4
1/2
3/4
0
✓
—
—
—
1/6
—
—
—
—
1/3
—
—
—
—
1/2
—
—
✓
—
2/3
—
—
—
—
5/6
—
—
—
—
2 / 24अटी पूर्ण करणाऱ्या जोड्या: (0, 0) आणि (1/2, 1/2)Successful pairs: (0, 0) and (1/2, 1/2)
02 / लेखाचे स्वरूपABOUT THE NOTE
प्रस्थापित पद्धत, एक स्पष्ट मोजणीचा प्रश्न.A classical method. A concrete counting problem.
लेखात rational cyclic grids मधील बेरजेच्या आणि फरकाच्या अटींना integer congruences मध्ये लिहिले आहे. Smith normal form वापरून मोजणी मिळते. वेगवेगळ्या आकारांचे input grids आणि दोन grids च्या union मधील दुहेरी मोजणी यांचाही विचार केला आहे.
The note turns sum and difference conditions on rational cyclic grids into integer congruences. Smith normal form gives the count. It also treats unequal input-grid sizes and avoids double counting in a union of two grids.
हे प्रस्थापित गणिताचे विवेचन आणि उपयोग आहे. नवीन सर्वसाधारण प्रमेयाचा दावा केलेला नाही.
This is an exposition and application of established mathematics. No new general theorem is claimed.
संपूर्ण गणित, संदर्भ आणि AI सहाय्याचे निवेदन मूळ PDF मध्ये आहे.
The original PDF contains the mathematics, references and full AI-assistance disclosure.
या preprintचा संदर्भ द्याCite this preprint
Walke, Rushikesh Murlidhar. (2026). Counting intersections of rational cyclic grids: an application of Smith normal form (Version 9.1) [Preprint]. Zenodo. DOI: 10.5281/zenodo.23184983.
ही DOI लिंक आवृत्ती 9.1चा कायमस्वरूपी संदर्भ आहे. AI-सहाय्यित विवेचनात्मक preprint; स्वतंत्र मानवी peer review झालेला नाही.
This DOI identifies version 9.1. AI-assisted expository preprint; not independently peer-reviewed.
सूत्रे आणि त्यांचा अर्थREAD THE MATHEMATICS
मूळ सूत्रे. थेट वाचता येणारा मजकूर.The original formulas. Readable, selectable text.
व्याख्या, समीकरणे (१)–(८), सिद्धतेच्या पायऱ्या आणि मूळ उदाहरणे एकाच पानावर वाचा. प्रत्येक भागासोबत PDFमधील पानाचा संदर्भ आहे. हा मजकूर निवडून कॉपी करता येतो; वाचण्यासाठी JavaScriptची गरज नाही.
Read the definitions, equations (1)–(8), proof steps and original worked examples on one page, with references to the PDF pages. The mathematics is selectable text and is available without JavaScript.
Preprint v9.1 · page 3 · equation (4)
C(d,b;y,k) = (d*b) / (J_L(s1) * J_L(s2))
या सूत्रातील सर्व चिन्हांच्या व्याख्या वाचनपानावर दिल्या आहेत. अंतिम मोजणी पूर्णांक असते; समतुल्य सूत्रातील d*b/L² हा स्वतंत्र गुणक नेहमी पूर्णांक असेलच असे नाही.
Every symbol is defined in the reading companion. The final count is an integer; the separate factor d*b/L² in the equivalent expression need not be an integer.
मूळ v9.1 PDFला पूरक वाचनपान · ९ ऑक्टोबर २०२६ · इंग्रजी गणिती मजकूर, मराठी मार्गदर्शन · स्वतंत्र मानवी परीक्षण बाकी.
Reading companion to the unchanged v9.1 PDF · 9 October 2026 · English mathematical text with Marathi guidance · Independent human review is outstanding.
03 / पडताळणी आणि अभिप्रायVERIFICATION & FEEDBACK
अभिप्रायाला खुले, दाव्यांमध्ये स्पष्ट.Open to feedback. Clear about the evidence.
आजची स्थिती
Current status
मसुदालेखन, संपादन आणि गणिती तपासणीत AI ची मदत घेतली आहे. स्वतंत्र मानवी peer review किंवा proof-assistant kernel पडताळणी झाल्याचा दावा नाही. मर्यादित संगणकीय चाचण्या पूरक पुरावा आहेत; त्या सर्वसाधारण पुराव्याची जागा घेत नाहीत.
AI assisted drafting, editing and mathematical inspection. No independent human peer review or proof-assistant kernel verification is claimed. Finite computational checks provide supporting evidence; they do not replace the general proof.
मानवी गणिती परीक्षणासाठी
For a human mathematical reviewer
समीक्षकाने व्याख्या, वेगवेगळ्या आकारांच्या grids चे normalization, kernel–image मोजणी, Smith normal form आणि union चे सूत्र तपासावे. चूक दाखवताना संबंधित पान किंवा समीकरण आणि कारण नोंदवावे.
Useful review targets are the definitions, unequal-grid normalization, kernel–image count, Smith normal form and the union formula. A correction should identify the relevant page or equation and explain the issue.